Estudando o Gráfico de y = | x |

A função modular ou de valor absoluto é uma relação da forma y  = | x |, onde x é um número real qualquer.  O gráfico da função modular, y  = | x |,  é representado abaixo.

    > plot(abs(x),x=-3..3,y=-1..3,color=green);

Vamos descrever o gráfico?

Primeiro quanto ao formato :
    Ele tem a forma de um V.

Quanto aos quadrantes onde estão os valores de y ?
    I e II quadrantes

Quanto ao ponto de intersecção com o eixo-y ?
    O ponto é x = 0

Figura simétrica

Qual é o eixo de simetria para y = | x | ?

Quais são as coordenadas para o vértice?

Examine a seguinte tabela de valores para a função modular  y = | x |.

x	y = | x |
- 3	3
- 2.5	2,5
- 2,0	2,0
- 1,5	1,5
- 1,0	1,0
- 0,5	0,5
0	0
0,5	0,5
1,0	1,0
1,5	1,5
2,0	2,0
2,5	2,5

O que você pode observar sobre os valores de y?

Qual é o valor mínimo de y?

Considere que o valor absoluto de algum número real é definido como .Isto significa que y  = | x | pode ser encontrado através de duas equações lineares, y = x  e y = - x.

A inclinação da curva pode ser calculada comparando-se a taxa de variação nos valores de y com determinada variação nos valores de x. Podemos usar a fórmula abaixo.
 

Usando a tabela acima de valores para y = | x |, determine a inclinação de y = | x | para os seguintes pares de valores de x.
a)  x  =  - 3 e x  =  - 2        Resp.: m = -1
b)  x  =  - 1 e x  =  - 0.5     Resp.: m = -1
c)  x  = 1 e x  = 1.5            Resp.: m = 1
d)  x  = 2 e x  = 3              Resp.: m = 1
 

Descreva alguma relação que você observou entre as inclinações calculadas e a definição de valor absoluto.

    Cheque sua Resposta
 
 

Estudando Gráficos de Funções Modulares

Examine o gráfico do quarteto de funções.
 

Vamos fazer o gráficos das seguintes funções modulares: (em vermelho), (em verde), (em amarelo), , (em azul)

        > plot({abs(x),abs(1/2*x),abs(2*x),abs(3*x)},x=-8..8,y=-2..6);

Como o gráfico de y₁ é comparado ao de y?
    O gráfico de y₁ foi alargado verticalmente ( o V ficou mais aberto ) devido ao fator 1 / 2.

Como o gráfico de y₂ é comparado ao de y?
    O gráfico de y₂  foi comprimido verticalmente ( O V ficou mais fechado ) pelo fator 2.

Como o gráfico de y₃ é comparado ao de y?
    O gráfico de y₃  foi comprimido verticalmente ( O V ficou mais fechado ) pelo fator  3.

Formule uma conjectura sobre o efeito de a no gráfico de y = | a.x |.

    O gráfico de y = | a.x | é alargado ou comprimido verticalmente por | a | unidades.

Examine outras quatro funções.
 

Vamos fazer o gráficos das seguintes funções modulares: (em vermelho), (em verde), (em amarelo), , (em azul)

        > plot({abs(x),-abs(1/2*x),-abs(2*x),-abs(3*x)},x=-5..5,y=-4..4);

Com respeito ao eixo-x, como o gráfico de y₄ , y₅  e y₆  são comparados ao de y?
    Eles foram refletidos pelo eixo x.  Os valores de y são todos negativos.

Formule uma conjectura sobre o efeito do sinal negativo no gráfico de y = -| a.x |.

    Cheque sua Resposta

Examine os gráficos das seguintes funções.
Os gráficos de : (em vermelho), (em verde), (em amarelo),

        > plot({abs(x),abs(x-5),abs(x+3)},x=-9..9,y=-.5..4);

Preveja como y = | x + 1| moverá o gráfico de y = | x | ao longo do eixo x.

Verifique o que você preveu .
 

Os gráficos de : (em vermelho), (em verde)

        > plot({abs(x),abs(x+1)},x=-5..5,y=-.5..4);

Faça uma conjectura descrevendo o efeito da constante a em y = | x + a | no gráfico de y  = | x |.
    Verifique sua conjectura
 

Juntando Funções Modulares e Equações

    A equação de valor absoluto | x | = 3 pode ser resolvida graficamente examinando onde o gráfico de
y = | x | intercepta o gráfico de linha horizontal y = 3.
 

    Os gráficos de : (em verde), (em vermelho)

        > plot({abs(x),3},x=-5..5,y=-.5..4);

    Observe que o gráfico tem dois pontos de intersecção.  As coordenadas de x são a solução de | x | = 3.

    Quais são as coordenadas de x dos pontos de intersecção de y = | x | e y₁₀ = 3?
        

A solução de | x + 1| = 5 pode ser encontrada graficamente pela localização dos pontos de intersecção.
 

Os gráficos de : (em verde), (em vermelho)

        > plot({abs(x+1),5},x=-8..6,y=-.5..8);

Quais são as soluções de | x  + 1|  = 5?

Determine as soluções de | 2 - x | = 4 examinando o gráfico abaixo.
 

Os gráficos de : (em verde), (em vermelho)

        > plot({abs(2-x),4},x=-3..7,y=-.5..6);

Aprofundando Seus Conhecimentos

Explique como a solução de | x - 6 | = 2 pode ser achada sem o gráfico.

    As Respostas vão variar, mas devem incluir uma descrição de forma a usar duas equações, onde x - 6 é igual a 2 e - 2.

Escreva uma equação usando valor absoluto que se parece um V e onde o vértice está localizado em (1,0) e intercepta a linha y = - 2.

Descreva como você pode usar o gráfico para explicar porque - 4 = | 2x + 1 | não tem solução.
    O gráfico de y = - 4 e y = | 2x + 1 | não se interceptam, o que implica que não há solução.

Explique porque | x - 7 | = 0 tem somente uma solução.